令和7年度上期機械問18

多重ループの一巡伝達関数と、そのベクトル軌跡

機械B問題配点 10点

出典：一般財団法人電気技術者試験センター令和7年度上期第三種電気主任技術者試験機械科目問題（問題文・選択肢は改変せず、公開PDFの該当ページをそのまま掲載しています）

正解

(a)(2)

(b)(3)

正解の出典：同センターが公表している解答

解説

**(a) 一巡伝達関数**

ブロック線図に**ループが2つ**入っている。内側（制御対象の中）と外側（出力から入力へ戻る）である。内側から順にまとめる。

*手順1：内側のループをまとめる。* 制御対象の点線の中を見ると、1/(jωT) に対して**マイナスのフィードバックが1（そのまま）**でかかっている。フィードバック結合の公式 G/(1+GH) に G = 1/(jωT)、H = 1 を入れると

(1/(jωT)) / (1 + 1/(jωT)) = **1 / (1 + jωT)**

分母分子に jωT を掛けると出る。ここで**1次遅れの形**になる。

*手順2：制御器と直列につなぐ。* 一巡伝達関数（開ループ伝達関数）は、入力からフィードバック信号までを一周たどったもの。制御器 K と、手順1でまとめた制御対象が直列に並ぶので

一巡伝達関数 = K × 1/(1 + jωT) = **K / (1 + jωT)**

*手順3：数値を入れる。* K = 2、T = 0.5 なので

**2 / (1 + jω0.5)**

正解は(2)。

注意点は、**内側のループを先に閉じること**。制御対象の中の 1/(jωT) をそのまま K に掛けて 2/(jω0.5) としてしまうと、内側のフィードバックを無視したことになる。

**(b) ベクトル軌跡**

求めた 2/(1 + jω0.5) について、ωを0から∞まで動かしたときに複素平面上で描く軌跡を考える。

*ω = 0 のとき*：分母が1なので **2.0**（正の実軸上） *ω → ∞ のとき*：分母が無限大になるので **0**（原点） *ω = 2 rad/s のとき*：ω0.5 = 1 なので 2/(1 + j1)。分母の偏角が45°なので、**位相は −45°**

1次遅れ要素の軌跡は、**正の実軸上の点と原点を直径の両端とする、下半平面の半円**になる。分母の虚部が正なので全体の偏角は常に負、つまり実軸の下側を通る。

条件をまとめると、①ω=0 で 2.0 ②ω=∞ で 0 ③下半平面 ④−45°の点が ω=2 rad/s。これらをすべて満たすのは(3)である。正解は(3)。

0.67（＝2/3）が書かれた選択肢は、一巡伝達関数を **2/(3+jω0.5)**（外側のループまで閉じてしまった形）とした場合の ω=0 の値。上半平面を通る選択肢は、位相が遅れではなく進む向きに描かれている。**遅れ要素は必ず下側**と覚えておけば半分は落とせる。

選択肢ごとの理由

(1)ω=0 の値2.0は合っているが、軌跡が上半平面になっている。1次遅れ要素の位相は遅れる（負）ので下半平面を通る。
(2)(a)が正しい。内側ループを閉じて 1/(1+jωT)、これに K=2 を掛けて 2/(1+jω0.5)。
(3)(b)が正しい。ω=0 で2.0、ω=∞ で0、ω=2 rad/s で−45°の下半平面の半円。
(4)ω=0 の値が0.67になっている。これは外側のループまで閉じた閉ループ伝達関数の値で、一巡伝達関数ではない。
(5)0.67 と ω=6 rad/s の組み合わせも、閉ループ側の値。一巡伝達関数 2/(1+jω0.5) では −45° になるのは ω=2 rad/s。

この論点は、データセンターの現場でこう出てくる

ベクトル軌跡（ナイキスト線図）は、**制御系が安定かどうかを一目で判定する**ための道具である。データセンターでは、空調の温度制御、UPSの電圧制御、発電機の調速・励磁制御と、閉ループ制御があちこちにある。判定の考え方は単純で、**一巡伝達関数の軌跡が (−1, j0) の点をどう回るか**で安定・不安定が決まる。位相が180°遅れた地点でゲインが1を超えていると、フィードバックが打ち消しではなく後押しになり、振動が発散する。この問題の 2/(1+jω0.5) は1次遅れなので、位相の遅れは最大でも90°にしかならず、絶対に不安定にならない。だから軌跡は第4象限の半円だけで、実軸の負の側には届かない。**1次遅れだけの系は、ゲインをいくら上げても安定**である。現実の設備が不安定になるのは、遅れ要素が重なるからである。 - 空調：吹出し温度が変わってから室温が動くまでの**むだ時間** - センサ：温度計自体の応答遅れ - アクチュエータ：バルブやダンパが動くまでの遅れこれらが直列に並ぶと位相の遅れが積み上がり、180°を超える周波数が現れる。そこでゲインが高いとハンチングする。**「ゲインを上げれば追従が良くなる」と思って上げた結果、振動しはじめる**のは、この構造による。実務で軌跡そのものを描くことは少ないが、**「遅れの要素がいくつ直列に入っているか」を数える**習慣は役に立つ。センサの位置を吹出し口から室内に移せば、それだけで遅れが1つ増える。制御が不安定になったとき、パラメータを触る前に系の構成を見直すべき理由がここにある。

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