令和6年度下期理論問8

位相が π/2 ずれた2つの正弦波電圧を直列にしたときの合成電圧の大きさと位相

理論A問題配点 5点

出典：一般財団法人電気技術者試験センター令和6年度下期第三種電気主任技術者試験理論科目問題（問題文・選択肢は改変せず、公開PDFの該当ページをそのまま掲載しています）

正解

(3)

正解の出典：同センターが公表している解答

解説

正弦波の足し算は、瞬時値の式のまま計算せずにベクトル（フェーザ）で足す。

e₁ = E sin(ωt + θ) は、大きさ E、位相 θ のベクトル。 e₂ = √3E sin(ωt + θ + π/2) は、大きさ √3E、位相 θ + π/2 のベクトル。

e₁ を基準（横軸）にとると、e₂ はそれより π/2 進んだ向き、つまり真上を向く。直列なので合成電圧 v = e₁ + e₂ は、横に E、縦に √3E の2辺をもつ直角三角形の斜辺になる。

大きさ = √(E² + (√3E)²) = √(E² + 3E²) = √(4E²) = 2E よって v の最大値は e₁ の最大値 E の 2 倍。(ア) は 2。

位相は e₁ から見た角度で tan φ = √3E/E = √3　→　φ = π/3 e₂ が進み側（上向き）なので、合成電圧も e₁ より π/3 進む。(イ) は π/3、(ウ) は進み。

式で書けば v = 2E sin(ωt + θ + π/3)。正解は(3)。

落とし穴は、最大値を E + √3E と単純に足してしまうこと。最大値どうしが足し算になるのは位相がそろっているときだけで、π/2 ずれていれば二乗和の平方根になる。1 : √3 : 2 の直角三角形（30°・60°・90°）が見えれば、計算しなくても 2 倍・π/3 が出る。

選択肢ごとの理由

(1)1/2 は比を逆にとった場合（E/2E）。合成電圧のほうが e₁ より大きいので、倍率は1より大きくなる。
(2)1+√3 は位相差を無視して最大値をそのまま足した場合。さらに位相を tan φ = 1/√3 と縦横を逆にとり、向きまで逆にしている。
(3)正しい。√(E² + 3E²) = 2E、tan φ = √3 より π/3、e₂ が進み側なので進み。
(4)√3 は e₂ だけの大きさで、e₁ を足し忘れている。位相 π/6 は tan φ を 1/√3 と縦横逆にとった値で、遅れも向きが逆。
(5)大きさ 2 は合っているが、2π/3 になる筋道はない。横成分 E・縦成分 √3E がどちらも正なので、合成の位相は 0〜π/2 の範囲に収まる。

この論点は、データセンターの現場でこう出てくる

「交流の電圧や電流は位相まで含めて足さないと合わない」は、データセンターの電源設備の数字を読むときに何度も出てくる。代表例が三相の線間電圧で、相電圧 230 V の三相4線式から取り出す線間電圧は 230×2=460 V ではなく √3 倍の約 400 V になる。相電圧どうしが 2π/3 ずれていて、ベクトルの差をとるからである。海外仕様のサーバラックや 400 V 級の配電を扱うと、この √3 が常に顔を出す。非常用発電機を商用系統や別の発電機と並列に入れるときも同じ考え方が要る。遮断器の両側の電圧が大きさでそろっていても、位相がずれていれば遮断器の極間には2つのベクトルの差の電圧がかかる。位相差が大きいまま投入すると大きな横流が流れて発電機や遮断器を傷めるので、同期検定器で位相差がほぼゼロになった瞬間に投入する。電流でも同じで、たとえば2つの負荷の電流をクランプメータでそれぞれ測って足しても、力率が違えば幹線の電流はその和より小さくなる。容量計算や遮断器の選定で「単純に足した値」と「ベクトルで足した値」のどちらを使っているかを意識できると、余裕の見積もりを誤らない。

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