令和6年度 下期 理論 問17

正解の出典：同センターが公表している解答

解説

(a) 合計電荷 Q

x = d としたとき、2つのコンデンサの静電容量は C = εA/d から C₁ = 8.85 × 10⁻¹² × 10⁻³ / 10⁻³ = 8.85 × 10⁻¹² F C₂ = 8.85 × 10⁻¹² × 10⁻² / 10⁻³ = 8.85 × 10⁻¹¹ F

並列なので合成容量は C = C₁ + C₂ = 8.85 × 10⁻¹² + 88.5 × 10⁻¹² = 97.35 × 10⁻¹² F

スイッチを閉じると両方に V₀ = 1000 V がかかるので Q = CV₀ = 97.35 × 10⁻¹² × 1000 ≈ 9.7 × 10⁻⁸ C。正解は(3)。

(b) 絶縁破壊電圧 V

(a)のあとスイッチを開いているので、電荷の逃げ道がない。2つの電極と床はつながったままなので、x を動かしても合計電荷 Q は 9.735 × 10⁻⁸ C のまま保存される。

x = 3.0 × 10⁻³ m にすると右側の容量が 1/3 になる。 C₂' = 8.85 × 10⁻¹² × 10⁻² / (3.0 × 10⁻³) = 2.95 × 10⁻¹¹ F 合成容量 C' = 0.885 × 10⁻¹¹ + 2.95 × 10⁻¹¹ = 3.835 × 10⁻¹¹ F

並列なので両方の電極の電圧は共通で V = Q/C' = 9.735 × 10⁻⁸ / (3.835 × 10⁻¹¹) ≈ 2.54 × 10³ V

左側の電極はこの電圧で火花放電したので、左側の空隙（1 mm）の絶縁破壊電圧は約 2.5 × 10³ V。正解は(2)。

電極の間隔を広げると容量が減るのに電荷は減らないので、Q = CV から電圧が押し上げられる。電圧が上がったのは右側を動かしたからだが、放電したのは間隔が狭いまま（電界 E = V/d が大きい）の左側、というのがこの問題の面白いところ。

落とし穴は、電圧が V₀ = 1000 V のまま変わらないと考えること。電源につながっていれば電圧が一定だが、切り離したコンデンサでは電荷が一定になる。